基于 Schrödinger 方程的浅水面方程数值模拟的色散正则化方法

我们提出了一种新的色散正则化框架，用于数值模拟一维浅水面方程组 (SWE)。该经典双曲系统通过动量方程中的三阶色散项进行正则化，经 Madelung 变换后等价于带有由海底地形引起漂移项的去 focusing 三次非线性 Schrödinger 方程。不同于直接求解浅水面方程，我们求解关联的 Schrödinger 方程，并通过简单的后处理程序恢复水动力变量。该方法将原始非线性双曲系统转化为半线性复数值方程，可有效地使用 Strang 时间分裂方法结合谱元离散化进行空间离散化。数值实验表明，在无冲击形成的亚临界情形下，Schrödinger 正则化对经典浅水解的 $O(\varepsilon)$ 近似，其中 $\varepsilon$ 为正则化参数。重要的是，我们观察到即使在存在移动湿润-干接口的情况下，这种收敛行为仍然存在，其中会出现真空状态，而标准浅水面求解器常常在此类情况下遇到困难。这些结果表明，Schrödinger 基于公式为含有干状态的浅水面流动的数值模拟提供了一种稳健且有前景的替代框架。