一种面向高阶有限元的可扩展鲁棒顶点-星松弛方法
数值分析
2024-01-09 v3 数值分析
摘要
Pavarino 证明了带有顶点块和低阶粗空间的加性 Schwarz 方法为对称强制问题提供了 -鲁棒求解器。然而，对于非常高的多项式次数，组装或分解每个块的矩阵是不可行的。本文中我们引入一种可分离块问题的直接求解器，可扩展至张量积单元上的非常高多项式次数。该求解器构造一个张量积基，使每个单独单元内部自由度的刚度矩阵块对角化。结果，单元矩阵的非零结构变为连接内部自由度与其在面上投影的图的结构。在新基下，块问题如同低阶有限差分离散般稀疏，同时具有更稀疏的 Cholesky 分解。因此，即便在非常高多项式次数下，我们也能负担顶点-块问题的矩阵组装与分解。在非可分离情形，该方法可通过可分离代理问题近似而作为预条件子应用。我们通过求解三维 Poisson 方程及线弹性的 -协调内罚离散（）展示了该方法。
引用
@article{arxiv.2107.14758,
title = {A scalable and robust vertex-star relaxation for high-order FEM},
author = {Pablo D. Brubeck and Patrick E. Farrell},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.14758},
year = {2024}
}