x-正规域上定常与时变 PDE 的矩阵导向有限元格式

当对椭圆型和抛物型偏微分方程的空间数值解要求高精度时，离散问题通常表现为大规模稀疏线性系统。在本工作中，作为替代方案，对于空间离散化，我们给出了经典有限元法的一种任意阶 $k\in\mathbb{N}$ 的矩阵导向格式，称为 MO-FEM。在结构化二维域（如正方形或矩形）上，离散问题随后被重新表述为 Sylvester 矩阵方程，我们在相应的谱空间中通过降阶方法求解。在一类相当一般的域，即正规域，甚至特殊曲面上，MO-FEM 产生一个多端 Sylvester 矩阵方程，其中附加项刻画了域形状的几何贡献。特别地，通过对抛物型问题采用 IMEX Euler 方法进行时间离散后，我们得到这一系列方程。我们应用预条件共轭梯度法的矩阵导向形式（MO-PCG）来求解 MO-FEM 在 $k=1,\dots,4$ 阶以及集中 $\mathbb{P}_1$ 情形下的每个多端 Sylvester 方程。我们选取了一种单端形式的矩阵导向预条件子，其捕获了整个多端 Sylvester 算子的谱性质。对于若干数值算例，我们展示了相较于通过直接法或具有相同预条件的向量 PCG 求解大规模稀疏线性系统的经典向量方法，在计算时间和内存占用上的收益。作为一个应用，我们展示了 MO-FEM-PCG 在电池建模的反应-扩散 PDE 系统中以高空间分辨率逼近 Turing 图案的优势。