一种用于计算投影鲁棒 Wasserstein 距离的黎曼指数增广拉格朗日方法

将距离度量投影到低维空间是利用最优传输缓解经典 Wasserstein 距离维数灾难的有效途径。所得最大化距离被称为投影鲁棒 Wasserstein（PRW）距离。本文中，我们将 PRW 距离的计算等价地重新表述为 Stiefel 流形与欧氏空间笛卡尔积上带附加非线性不等式约束的优化问题。我们提出一种具有全局收敛保证的黎曼指数增广拉格朗日方法（ReALM）来求解该问题。与现有方法相比，ReALM 可潜在避免过小的罚参数。此外，我们提出一种不精确黎曼梯度下降方法框架，以高效求解 ReALM 中的子问题。特别地，利用子问题的特殊结构，我们给出一种实用算法，称为不精确黎曼 Barzilai-Borwein 方法结合 Sinkhorn 迭代（iRBBS）。iRBBS 的显著特征在于：它对投影矩阵执行灵活次数的 Sinkhorn 迭代以计算不精确梯度，并基于不精确梯度信息采用 Barzilai-Borwein 步长以提升性能。我们证明 iRBBS 能在 $\mathcal{O}(\epsilon^{-3})$ 次迭代内返回原始 PRW 距离问题的 $\epsilon$-平稳点。在合成与真实数据集上的大量数值结果表明，我们提出的 ReALM 与 iRBBS 优于计算 PRW 距离的现有最优求解器。