关于欧氏空间中集合两种平坦性概念的注记

在本注记中，我们比较了度量集合 $S\subset \mathbb{R}^d$ 的 $n$ 维“平坦性”的两种方式，其中 $n\in \mathbb{N}$ 且 $d>n$。第一种是考虑经典的 Reifenberg 平坦数 $\alpha(x,r)$（$x \in S$，$r>0$），它度量 $B_r(x)$ 内 $S$ 与 $\mathbb{R}^d$ 的 $n$ 维仿射子空间之间的最小尺度不变 Hausdorff 距离。第二种是一种“内蕴”方法，其中我们将同一集合 $S$ 视为一个度量空间（赋予诱导欧氏距离）。于是我们考虑数 ${\sf a}(x,r)$，它们是 $S$ 中以 $x$ 为中心、半径为 $r$ 的球与同半径的 $n$ 维欧氏球之间的尺度不变 Gromov-Hausdorff 距离。作为我们分析的主要结果，我们严格化了一个由 David 与 Toro 首次指出的现象，即数 ${\sf a}(x,r)$ 表现为数 $\alpha(x,r)$ 的平方。此外我们展示了该结果如何应用于将 Cheeger-Colding 内蕴-Reifenberg 定理推广到双 Lipschitz 情形。作为我们论证的副产品，我们也推导了关于 Jones 数 $\beta$（即数 $\alpha$ 的单边版本）的类似结果。