Šoltés 问题的一个松弛版本与仙人掌图

Wiener 指数是化学图论中研究最广泛的参数之一。它定义为给定图中所有无序顶点对之间最短路径长度之和。1991 年，Šoltés 提出了如下关于 Wiener 指数的问题：找出所有在删去任意顶点后 Wiener 指数保持不变的图。该问题远未解决，至今仅知一个具有此性质的图：11 个顶点的圈图。本文解决了 Knor 等人于 2018 年提出的该问题的一个松弛版本。对给定 $k$，问题是找出恰好有 $k$ 个顶点、使得删去其中任意一个后 Wiener 指数仍相同的（无穷多）图。我们称这些顶点为 good 顶点，并证明存在无穷多恰好有 $k$ 个长度至少为 7 的圈的仙人掌图，包含恰好 $2k$ 个 good 顶点；以及无穷多恰好有 $k$ 个长度 $c \in \{5,6\}$ 的圈的仙人掌图，包含恰好 $k$ 个 good 顶点。另一方面，我们证明若图 $G$ 中最长圈的长度至多为 $4$，则 $G$ 没有 good 顶点。