拓扑加速效应的相对论模型

先前的启发式研究表明，宇宙拓扑结构会影响引力，其表现为：在多连通宇宙中，大质量物体附近的测试粒子会受到一个拓扑诱导的加速度，该加速度抵消了物体对粒子的局部引力吸引。这一效应能够区分不同的共动三维流形，从而可能为庞加莱十二面体空间观测假说提供理论依据，并为宇宙拓扑提供动力学检验。有必要检验该效应是否出现在具有多连通空间截面的爱因斯坦场方程的完全相对论解中。我们检验了一个在一个空间方向上多连通的类史瓦西精确解，以验证其与启发式结果在解析和数值上的一致性。发现 T¹（板状空间）的启发式结果在相对论意义上是正确的。对于基本域尺寸为 $L$、质量为 $M$ 的物体与其最近多重像之间沿轴距离为 $x$ 的慢速、可忽略质量的测试粒子，当满足 $GM/c^2 \ll x \ll L/2$ 时，其远离该大质量物体的残余加速度为 $4\zeta(3) G(M/L^3)\,x$，其中 $\zeta(3)$ 是阿佩里常数。对于 $M \sim 10^{14} M_\odot$ 和 $L \sim 10$ 至 $20\,\text{Gpc}$，该线性表达式在 $3\,\text{Mpc} \lessapprox x \lessapprox 2\,\text{Gpc}$ 范围内精确到 $\pm10\%$。因此，至少在简单的多连通宇宙例子中，拓扑加速效应并非牛顿式推理的产物，其线性推导在 $x$ 的三个数量级范围内是精确的。