关于 ${(\omega, <)}$ 上度谱为中间程度的关系

我们考察 ${(\omega, <)}$ 上关系的度谱。给定 ${(\omega,<)}$ 上的额外关系 $R$（例如继接关系），关系 $R$ 在可计算拷贝 ${(\omega,<)}$ 中的 Turing 度谱是该关系的 Turing 度的集合。已知 ${(\omega,<)}$ 上所有关系的度谱落入四个类别中的一个：可计算度、全部可枚举度、全部 $\Delta^0_2$ 度，或位于可枚举度和 $\Delta^0_2$ 度之间。前三个度谱的例子容易构造且众所周知，但直到最近，是否存在在锥上具有中间度谱的关系一直是开放问题。Bazhenov、Kalociński 和 Wroclawski 构造了一个中间度谱的例子，但他们的例子是通过对角化构造的，因此是非自然的，即您从他们的构造中获得哪个关系取决于您选择的哪个 Gödel 编码（以及部分可计算函数/程序的枚举顺序）。本文我们使用“在锥上”范例将注意力限制在“自然”关系 $R$ 上。我们的主要结果是构造一个在 ${(\omega,<)}$ 上具有中间度谱的自然关系。这种关系之所以具有中间度谱，是由于结构性原因。