锥上的关系度谱

设 $\mathcal{A}$ 为带有附加关系 $R$ 的数学结构。我们关注 $R$ 的度谱：当 $(\mathcal{A},R)$ 为“自然”结构时，考察其在 $\mathcal{A}$ 的可计算拷贝中的度谱；或者（为使定义严谨）考察其在某个大度 \textbf{d} 下可计算的 $(\mathcal{A},R)$ 拷贝中的度谱。我们引入了锥上度谱的偏序关系，并开启了对这些对象的研究。利用 Harizanov 的一项结果——即假设 $\mathcal{A}$ 和 $R$ 满足有效性条件，若 $R$ 非内蕴可计算，则其度谱包含所有 c.e. 度——我们观察到锥上存在一个最小的非平凡度谱，由 c.e. 度组成。我们通过给出锥上两个不可比度谱的示例，表明这一结论不能推广至 d.c.e. 度。我们还部分回答了 Ash 和 Knight 提出的一个问题：他们询问（在某些有效性条件下）一个非内蕴 $\Delta^0_\alpha$ 的关系，其度谱是否必然包含所有 $\alpha$-CEA 度。对于 $\alpha = 2$，我们给出了肯定回答，证明了任何严格包含 $\Delta^0_2$ 度的锥上度谱必然包含所有 2-CEA 度。此外，我们研究了结构 $(\omega,<)$ 上度谱的特例。这项工作代表了对“自然”结构度谱研究的开端，我们留下了许多待解决的开放性问题。