非交叉路径与自由边界菱形铺砌的反射原理
组合数学
2025-08-19 v1
摘要
Okada 和 Stembridge 关于具有固定起点和未固定终点的非交叉路径族计数的 Pfaffian 公式已被广泛用于解决计数组合学中的许多挑战性问题。在本文中，我们提出了一个新的公式，作为 Okada 和 Stembridge 的 Pfaffian 公式的补充。其证明基于从 Okada 公式得到的矩阵最大子式之和的平方公式。新公式的组合解释给出了非交叉路径的反射原理。这意味着具有未固定终点的非交叉路径族的计数可以通过计数具有固定终点的非交叉路径族来解决。利用这个公式，我们还证明了具有自由边界的一大类区域的菱形铺砌计数可以从没有自由边界的区域推导出来。然后，我们提供了该结果的几个应用，包括：1）一类新的区域，其铺砌生成函数由一个简单的乘积公式给出；2）对带孔六边形的菱形铺砌的因子分解定理的一个更简单的证明；3）移位形状的移位平面分拆和对称形状的对称平面分拆的体积生成函数的新行列式公式。
引用
@article{arxiv.2508.12135,
title = {A reflection principle for nonintersecting paths and lozenge tilings with free boundaries},
author = {Seok Hyun Byun},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.12135},
year = {2025}
}
备注
29 pages, 15 figures, comments welcome!