含中心三角形洞的六边形菱形拼贴的枚举

我们处理边长为 $a,b+m,c,a+m,b,c+m$ 的六边形（其中已从中心移除一个边长为 $m$ 的等边三角形）的菱形拼贴的无权与加权枚举。我们给出这些菱形拼贴的平凡枚举以及某种 $(-1)$-枚举的闭公式。在 $a=b=c$ 的情形下，我们还给出那些循环对称菱形拼贴的某种加权枚举的闭公式。当 $m=0$ 时，后一类公式特化为关于循环对称平面分拆的加权枚举的命题。其中一个特化给出了对 Stembridge 关于循环对称平面分拆的某种加权计数的猜想的证明。我们证明中所用的工具是非相交格路理论与行列式计算的非常规应用。特别地，我们计算行列式 $\det_{0\le i,j\le n-1}\big(\om \delta_{ij}+\binom {m+i+j}j\big)$，其中 $\om$ 是任一 6 次单位根。这些行列式计算是 Andrews (Invent. Math. 53 (1979), 193--225) 著名结果（对应于 $\om=1$）的变体。