Hartley 卷积的细化变体：代数结构、谱半径及相关问题

本文提出一种新颖的卷积乘积，关联 $\mathscr{H}$ 变换，记作 $\underset{\mathscr{H}}{\ast}$，并探讨其基本性质。其中，$\mathscr{H}$ 变换可视为经典 Fourier、Hartley 变换的细化变体，其核函数依赖于两个参数 $a,b$。我们的第一项贡献表明，由可积函数构成的空间，以 $\underset{\mathscr{H}}{\ast}$ 卷积给出的乘法，构成复数域上的交换 Banach 代数，尽管不具备单位元。第二项建立了 $\mathscr{H}$-代数的数位-莱维类型可逆性准则，通过稠密性质和单元化过程获得，为证明 Gelfand 谱半径定理提供了关键步骤。第三项给出 $\underset{\mathscr{H}}{\ast}$ 卷积及其直接推论的 Young 不等式的显式上界。最后，将这些理论结果应用于分析特定类的 Fredholm 积分方程和热源问题，在所建立的假设下得到先验估计。