针对光滑度 $0 < \alpha \le 1/2$ 的 Korobov 空间、具有预定生成向量与随机点数的随机格点法则算法

在先前工作（Kuo, Nuyens, Wilkes, 2023）中，我们表明具有预定生成向量但随机点数的格点法则，可对光滑度 $\alpha > 1/2$ 的 Korobov 空间中高维函数的数值积分，实现最坏情形期望误差（通常称为随机误差）的近最优收敛率 $O(n^{-\alpha-1/2+\epsilon})$，$\epsilon > 0$。相较于最优确定性速率 $O(n^{-\alpha+\epsilon})$，$\epsilon > 0$，此类随机算法能在收敛率上获得额外的半阶。本文中，我们表明在 $0 < \alpha \le 1/2$ 的情形下同样存在预定生成向量。此处我们也获得近最优收敛率 $O(n^{-\alpha-1/2+\epsilon})$，$\epsilon > 0$；或更详细地，我们得到 $O(\sqrt{r} \, n^{-\alpha-1/2+1/(2r)+\epsilon'})$，其对任意 $\epsilon' > 0$ 与 $r \in \mathbb{N}$ 且 $r > 1/(2\alpha)$ 均成立。