生长沙堆建模中出现的拟变分不等式问题

在沙堆表面演化模型中出现的拟变分不等式问题的解的存在性长期以来一直是一个未解决的问题。另一个长期悬而未决的问题涉及确定对偶变量，即沿演化沙表面倾泻的沙通量，这在该模型的多种应用中也具有实际意义。此前，这些问题仅在不平等为简单变分不等式的特殊情况下得到了解决。这里，我们引入了一种正则化混合公式，同时涉及原始变量（沙表面）和对偶变量（沙通量）。我们推导、分析并比较了两种逼近和数值求解该混合问题的方法。我们证明了当网格离散参数趋于零时，两种逼近的子序列收敛性；从而证明了该混合模型及相关正则化拟变分不等式问题的解的存在性。其中一种数值逼近方法，即通量由满足散度相容的最低阶Raviart-Thomas元逼近，产生了一种高效算法，不仅可以计算演化的沙堆表面，还可以计算倾泻沙的通量。我们的数值实验结果证实了所采用正则化的有效性。