二面体群在Grassmann流形上作用的量子类比

在近期的工作中，Launois和Lenagan展示了如何构造量子Grassmann流形的上链扭曲，以及扭曲与未扭曲代数之间的同构，该同构将给定的量子子式映射到其指标集按照$n$-循环$c=(1, 2, ..., n)$进行置换的子式（至多相差$q$的某个幂次）。需要这种扭曲是因为$c$并不能像在经典和半经典情形中那样自然地诱导出量子Grassmann流形的自同构。我们推广了这一构造，给出了由$c$和最长元素$w_{0}$生成的$S_{n}$的二面体子群在Grassmann流形上作用的量子类比，该类比采取了广群的形式。我们证明了该子群在量子Grassmann流形的环面不变素理想上存在诱导作用，并证明了该子群也作用于全非负与全正Grassmann流形。进而我们看到，这种二面体子群作用在经典、半经典（通过Poisson自同构与反自同构，这是Yakimov的结果）以及量子和非负设定中均存在。