威尔逊同余的一个 $q$-类似

令 ${\mathcal C}_n$ 为 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上所有长度为 $n$ 的置换循环的集合。令 $${\mathfrak f}_n(q):=\sum_{\sigma\in{\mathcal C}_{n+1}}q^{{\mathrm maj}\,\sigma}$$ 为阶乘 $n!$ 的一个 $q$-类似，其中 ${\mathrm maj}$ 表示 major 指标。我们证明威尔逊同余的一个 $q$-类似 $${\mathfrak f}_{n-1}(q)\equiv\mu(n)\pmod{\Phi_n(q)},$$ 其中 $\mu$ 表示 Möbius 函数，$\Phi_n(q)$ 为第 $n$ 个分圆多项式。