标准极小抛物子代数上 Casselman 比较定理的一个证明

设 $G$ 为实线性约化群，$K$ 为极大紧子群。设 $P$ 为 $G$ 的极小抛物子群，其复化李代数为 $\mathfrak{p}$，$\mathfrak{n}$ 为其幂零根。本文证明：对任意 $G$ 的容许有限生成中等增长光滑 Fréchet 表示 $V$，包含映射 $V_{K}\subset V$ 诱导同构 $H_{i}(\mathfrak{n},V_{K})\cong H_{i}(\mathfrak{n},V)$（$i\geq 0$），其中 $V_{K}$ 表示 $V$ 中 $K$ 有限向量构成的 $(\mathfrak{g},K)$ 模。这被称为 Casselman 比较定理。作为推论，我们证明：对任意 $k\geq 1$，$\mathfrak{n}^{k}V$ 是 $V$ 的闭子空间，且包含映射 $V_{K}\subset V$ 诱导同构 $V_{K}/\mathfrak{n}^{k}V_{K}= V/\mathfrak{n}^{k}V$。这加强了 Casselman 自动连续性定理。