正确测试序列漫步 I：可构造集的次数、Bézout 不等式与密度

在 Heintz-Schnorr（1982）中，作者引入了正确测试序列的概念，此后该概念被广泛用于设计多项式等式检验的概率算法。本手稿旨在研究这一概念的基础与推广。我们表明正确测试序列几乎无处不在，并以多种不同形式出现在数学文献中：作为函数恒等检验的恒等序列、作为 Banach 代数领域的赋范集，或作为再生核 Hilbert 空间背景下的样本。作为主要成果，我们推广了 Heintz-Schnorr（1982）的主要结论，证明对于多项式列表的可构造集，短的正确测试序列确实存在，并且在任意具有准确维数与次数的可构造集中稠密分布。证明此结果所用的主要工具是可构造集次数理论，我们在本手稿中引入并发展了该理论，推广了 Heintz（1983）的结果，并针对两种不同的次数概念证明了两个 Bézout 不等式。我们提出了一个 ${\bf BPP}_K$ 算法以展示正确测试序列的威力，该算法仅通过在若干合适点对输入列表求值，即可判定一个多项式列表是否为割线序列。我们展示了正确测试序列与 Demillo-Lipton-Schwartz-Zippel 概率检验之间的差异，并重新表述、证明和推广了多项式方法的两条著名结果：我们从正确测试序列长度的下界证明了 Dvir 关于 Kakeya 集的指数下界，并推广了 Alon 的组合零化子定理。