集合塑形理论与无冗余可测试码的基础

为了使序列可测试，即能够识别和检测错误，有必要应用一种变换，通过引入符号间的统计依赖性来增加其长度，正如添加奇偶校验位所常见的那样。然而，由于解码器没有原始符号的先验知识，它必须将人为引入的符号视为独立的。因此，这些额外的符号必须被传输，尽管在理想且无错误的条件下，它们的条件概率为零。这种序列扩展意味着并非新长度的所有符号组合都是实际可实现的：如果错误修改了一个序列，使其变得不可接受，那么这样的错误就变得可检测。集合塑形理论的最新发展揭示了一个令人惊讶的结果：通过仔细选择哪些更长的序列是允许的，总是可以将一个序列变换成一个更长的版本，使得整个序列集合变得比原始集合更有结构且更不复杂。这意味着，即使序列被扩展并且在符号之间引入了依赖性，新集合中包含的信息总量并不会成比例增加；相反，它可以略微减少。换句话说，可以构造一个更长的序列的新集合，其中每个序列唯一地对应一个原始序列，但整个集合的设计方式使其可以被视为符号是独立的，从而使编码更简单。这使得序列变得可测试，能够在没有增加可见冗余或增加信息内容的情况下检测错误。