线性抛物线 PDE 中带 Neumann 边界条件梯度的概率表示

我们给出二阶线性抛物线 PDE $\partial_{t}u(t,x)=(1/2)a^{ij}\partial_{ij}u(t,x)+b^{i}\partial_{i}u(t,x)$ 在闭合凸光滑有界域 $D \subset \mathbb{R}^{d}$（$d\geq 1$）中的 Neumann 边界条件和初始条件 $u(0,x)=f(x)$ 的梯度的概率表示。核心思想是从其相关反射扩散 $X^{x}$ 的惩罚版本开始，进行 pathwise 导数，证明得到的 $\nu$-方向 Jacobian 族在 Jakubowski S 拓扑下紧致，其极限为解某线性 SDE 的 $J^{x,\nu}$，然后取 $\mathbb{E}\left(\nabla f(X^{x}(t))\cdot J^{x,e_{i}}(t)\right)$ 作为梯度 $\partial_{i}u(t,x)$，其中 $x\in D$，$t\geq 0$，$e_{i}$ 为 $\mathbb{R}^{d}$ 的标准基，$f$ 为 $X^{x}$ 初值 semigroup 的初始条件。讨论了更多的延伸与应用。