广义正则约束下的临界点原理与非正则约束下的不适定拉格朗日乘子

本文提出一类非正则约束及在该约束下寻求临界点的原理，其中不涉及拉格朗日乘子。设 $E, F$ 为两个巴拿赫空间，$g: E\rightarrow F$ 为定义在 $E$ 中开集 $U$ 上的 $c^1$ 映射，约束 $S=$ 原像 $g^{-1}(y_0), y_0\in F.$ 非正则约束与正则约束的一个主要区别在于，对任意 $x\in S$，$g'(x)$ 不是满射。近年来，非正则约束下的临界点理论是优化理论中的一个关注焦点。该原理同样适用于正则约束的情形。相应地，引入了广义正则约束，并建立了广义正则约束上的临界点原理。设 $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ 为一个非线性泛函。在考虑经典临界点原理中的拉格朗日乘子 $L$ 时，其表达式通过使用 $g'(x)$ 的广义逆 ${g'}^+(x)$ 给出如下：若 $x\in S$ 是 $f|_S$ 的一个临界点，则 $L=f'(x)\circ {g'}^+(x) \in F^*$。此外，证明了若 $S$ 是正则约束，则拉格朗日乘子 $L$ 是唯一的；否则，$L$ 是不适定的。因此，在非正则约束情形下，求解欧拉方程非常困难，但这在优化理论中却经常出现。所以，此处的原理似乎是新颖且适用的。附带地，证明了以下定理：若 $A\in B(E,F)$ 是双分裂的，则 $A$ 的所有广义逆的集合 $GI(A)$ 与某个巴拿赫空间光滑微分同胚。这是广义逆分析中一个新颖且有趣的结果。