量子引力的拟基本解？

在六十年代，DeWitt发现，在de Donder规范下，度规扰动上波算子的超前和推迟格林函数使得在时空全微分同胚群作用下的不变泛函空间上定义经典泊松括号成为可能。因此他试图利用此性质为量子化引力场定义不变对易子，但此类经典泊松括号的算子对应被证明是一项艰巨任务。另一方面，数学文献常研究一种近似逆，即parametrix（严格地说是一种分布）。我们在此建议这种构造可能被用于正则量子引力。我们从最简单的情况开始，即线性标量波算子的基本解与parametrix；下一步是张量波方程，同样针对线性理论，例如弯曲时空中的麦克斯韦理论。最后，研究非线性爱因斯坦方程，依赖于确立良好的Choquet-Bruhat构造，根据该构造，非线性双曲系统解的五阶导数满足一个线性双曲系统。后者通过Kirchhoff型公式求解，而前者五阶方程可通过针对椭圆算子的成熟parametrix技术求解。但随后，满足真空爱因斯坦方程的度规分量可通过将此parametrix与Kirchhoff型公式卷积得到。还获得了parametrix的一些基本泛函方程，有助于研究雅可比恒等式的经典与量子版本。