关于半群分拆的一个注记-问题

给定一个半群$S$和$S$的一个$n$-分拆$\mathcal{P}$，$n\in \mathbb{N}$，是否存在$A\in \mathcal{P}$和$S$的子集$F$使得$S=F ^{-1} \{x \in S: x A \bigcap A\neq\emptyset\}$且$|F |\leq n$？在$S$是有限的或$n=2$的情况下，我们给出了肯定的回答。