关于带模式的倾斜Sperner族的一个注记

设$p$和$q$为两个非负整数且$p+q>0$，$n>0$。若对于所有不同的$F,G \in \mathcal{F}$不满足：$$(i) \ \ p|F \setminus G|=q|G \setminus F|, \ \textrm{and}$$ $$(ii) \ f > g \ \textrm{for all} \ f \in F \setminus G \ \textrm{and} \ g \in G \setminus F,$$ 则称$\mathcal{F} \subset \mathcal{P}([n])$为一个\textit{[$n$]上的(p,q)-带模式倾斜Sperner族}。Long (\cite{L}) 证明了$[n]$上(1,2)-带模式倾斜Sperner族的基数为$$O(e^{120\sqrt{\log n}}\ \frac{2^n}{\sqrt{n}}).$$ 我们改进并推广了这一结果，证明了[$n$]上每个($p,q$)-带模式倾斜Sperner族的基数为$$O(\sqrt{\log n} \ \frac{2^n}{\sqrt{n}}).$$