关于偶排列与奇排列的循环总数的一个注记

我们通过双射方法证明，$[n]=\{1,2,...,n\}$的所有偶排列的循环总数与所有奇排列的循环总数相差$(-1)^n(n-2)!$，该问题由Miklós Bóna提出并作为公开问题。我们还通过双射方法证明了以下更一般的恒等式：$$\sum_{i=1}^n c(n,i)\cdot i \cdot (-k)^{i-1} = (-1)^k k! (n-k-1)!,$$ 其中$c(n,i)$表示$[n]$中具有$i$个循环的排列数。