基于 $\mu(I)$-流变学的稠密颗粒介质中 Stokes 问题注记

本文使用最近提出的 $\mu(I)$-流变学,在单分散珠子的稠密颗粒流背景下,重新审视了描述由匀速运动的无限壁面引起的流体运动的经典 Stokes 问题。在牛顿流体中,分子扩散产生了自相似的速度剖面,且流体运动所在的边界层随时间 $t$ 以 $\sqrt{\nu t}$ 的速度无限增长,其中 $\nu$ 为运动粘度。对于稠密颗粒粘塑性流体,研究表明局部剪应力在适当重标度后,在短时间尺度上表现出自相似行为,随后迅速演化至稳态解。所得剪切层的厚度以 $\sqrt{\nu_g t}$ 的速度增长,类似于牛顿流体,其中 $\nu_g$ 为等效颗粒运动粘度,它不仅取决于颗粒介质的固有属性(如颗粒直径 $d$、密度 $\rho$ 和摩擦系数),还取决于移动壁面处的施加压力 $p_w$ 和固相分数 $\phi$(常数)。此外,$\mu(I)$-流变学表明,这种增长会持续直到达到稳态边界层厚度 $\delta_s = \beta_w (p_w/\phi \rho g )$,该厚度与颗粒尺寸无关,达到该厚度的时间约与 $\beta_w^2 (p_w/\rho g d)^{3/2} \sqrt{d/g}$ 成正比,其中 $g$ 为重力加速度,$\beta_w = (\tau_w - \tau_s)/\tau_s$ 为稳态壁面剪应力 $\tau_w$ 超过使颗粒介质产生运动所需的临界壁面剪应力 $\tau_s$(屈服应力)的相对盈余(完整摘要请见正文)。