关于 Markov 链忠实耦合的注记

人们常需将 Markov 链的耦合 $(X_i, Y_i)_{i\geq 0}$ 转变为粘性耦合：一旦在某 $T$ 有 $X_T = Y_T$，则此后每个后续时间步 $T'\geq T$ 均有 $X_{T'} = Y_{T'}$。然而，文献中被视为耦合者——即便是 Markovian 耦合——并非全可转为粘性耦合，Rosenthal 以反例证明了这一点。Rosenthal 随后提出 Markovian 耦合概念的一种强化，称为忠实耦合（faithful coupling），由此确可得到粘性耦合。我们辨明了 Rosenthal 反例中无法得到粘性耦合的原因，这促使我们定义一类显然可转为粘性耦合的耦合。我们随后证明，我们所定义的新型耦合与 Rosenthal 定义的忠实耦合实则相同。本注记可视为对忠实耦合概念自然性的一次展示。