关于 [1,k]-支配数等于其顶点数的二部图的注记

图 $G$ 的顶点集 $V$ 的子集 $D$ 称为 $[1,k]$-支配集，若 $V-D$ 中每个顶点与 $D$ 中至少一个且至多 $k$ 个顶点相邻。具有最少顶点数的 $[1,k]$-支配集称为 $\gamma_{[1,k]}$-集，其顶点数即为 $G$ 的 $[1,k]$-支配数 $\gamma_{[1,k]}(G)$。在本短注中，我们证明判定 $\gamma_{[1,k]}(G)=n$ 是否为真是一个 $NP$-困难问题，即使对二部图亦如此。此外，对任一整数 $n\geq (k+1)(2k+3)$，给出了满足 $\gamma_{[1,k]}(G)=n$ 的 $n$ 阶二部图 $G$ 的一个简单构造。