持久图上的归一化瓶颈距离及降维下的同调保持

持久图（PDs）被用作点云数据的签名。两个点点云可通过其PDs之间的瓶颈距离$d_B$进行比较。该流程的一个潜在缺陷是：当采样自拓扑相似流形的点云之间存在较大尺度缩放时，其$d_B$可任意大。这种情况在降维框架中十分典型。我们定义并研究了PDs之间一种新的尺度不变距离，称为归一化瓶颈距离$d_N$，并研究其性质。在定义$d_N$时，我们发展了一个更宽泛的框架，称为度量分解，用于在有双射的等势有限度量空间之间进行比较。我们利用度量分解，通过推导双射映射畸变的显式界，证明了$d_N$的稳定性结果。随后我们研究了两种流行的降维技术——Johnson-Lindenstrauss（JL）投影与度量多维缩放（mMDS），以及第三类一般双Lipschitz映射。我们给出了这些降维技术相对于$d_N$保持同调程度的新界。对于将输入$X$变换为$f(X)$的JL映射$f$，我们证明$d_N(dgm(X),dgm(f(X))) < e$，其中$dgm(X)$为$X$的Vietoris-Rips持久图，且成对距离被$f$保持在容差$0 < \epsilon < 1$内。对于mMDS，我们基于协方差矩阵的特征值，给出了$X$与其投影的PDs之间$d_B$与$d_N$的新界。对于$k$-双Lipschitz映射，我们证明$d_N$以$(k^2-1)/k$与$X$和$f(X)$直径之比的乘积为界。最后，我们通过计算实验展示了在使用归一化瓶颈距离对采样自不同形状的点云集合进行聚类时效果的增强。