具有两个 Sobolev-Hardy 临界指数的非线性椭圆型 PDE

在本文中，我们考虑以下包含两个 Sobolev-Hardy 临界指数的 PDE，\label{0.1} {& \Delta u + \lambda\frac{u^{2^*(s_1)-1}}{|x|^{s_1}} + \frac{u^{2^*(s_2)-1}}{|x|^{s_2}} =0 \text{in} \Omega, & u=0 \qquad \text{on} \Omega, } 其中 $0 \le s_2 < s_1 \le 2$，$0 \ne \lambda \in \Bbb R$ 且 $0 \in \partial \Omega$。当 $s_1=0$ 或 $s_2=0$ 时，基态解的存在性（或非存在性）已被广泛研究。在本文中，我们证明如果 $0< s_2 < s_1 <2$ 且 $\partial \Omega$ 在 0 处的平均曲率 $H(0)<0$，则 \eqref{0.1} 存在基态解。因此，本文完成了对 \eqref{0.1} 基态解的研究。我们还证明了在不同 $s_1, s_2$ 和 $\lambda$ 情况下，$\Omega =\rn$ 时 \eqref{0.1} 正整体解的存在性或非存在性。