来自大气科学的非线性椭圆偏微分方程：云边适定性与正则性

降水准地转方程通过纳入水汽效应，超越了（干）准地转方程。这意味着同时考虑了降水以及云外水汽相与云内水汽加液相之间的相变。在干的情况下，若反演一个拉普拉斯方程，准地转方程可表述为单个标量变量（位势涡度）的非局部输运方程。对于降水准地转方程，反演拉普拉斯算子被一个更具挑战性的对手所取代，即位势涡度与湿度反演。待反演的偏微分方程是非线性且分段椭圆的，其系数在云边处有跳跃。然而，由于相边界本身依赖于未知量，其全局椭圆性在先验上并不清晰。这是一个自由边界问题，其中云边的位置是未知量之一。位势涡度与湿度反演不同于文献中常被研究的自由边界问题，本文给出了该偏微分方程的首个严格分析。通过引入反演的变分表述，我们利用变分法工具推导解的存在唯一性，并借助 de Giorgi 技术获得尖锐的正则性结果。特别地，我们证明了未知压力或流函数的梯度在云边处是 Hölder 连续的。