一种同时推导幂律分布指数与极值的新工具

许多实验量呈现幂律分布 $p(x)\propto x^{-\alpha}$。在天体物理学中,例子有:尘埃颗粒的尺寸分布或星系的光度函数。此类分布由指数 $\alpha$ 以及分布延伸所及的极值 $x_\text{min}$、$x_\text{max}$ 表征。目前尚无数学工具能同时推导这三个未知量。通常,人们针对 $x_\text{min}$、$x_\text{max}$ 的不同猜测估算一组 $\alpha$,然后事后选取最能描述观测数据的一组取值。本文提出一种工具,基于关于给定 $\alpha$ 下观测值 $x_i$ 如何填充 $x_\text{min}$ 与 $x_\text{max}$ 之间未知区间的简单假设,同步求出这三个参数。我们的工具可免费下载,通过非线性最小二乘拟合寻找最佳值。我们将该技术与截断及非截断幂律分布的最大似然估计量进行比较。借助模拟数据,我们展示了每种方法所算参数随样本中数据个数 $N$ 变化的可靠性。随后我们将方法应用于观测数据以推导:i)英仙座恒星形成区核质量函数的斜率,发现两个幂律分布:在 $1.06\,M_{\sun}$ 与 $3.35\,M_{\sun}$ 之间 $\alpha=2.576$,在 $3.48\,M_{\sun}$ 与 $33.4\,M_{\sun}$ 之间 $\alpha=3.39$;ii)从 Fermi-LAT 档案提取的耀变体 J0011.4+0057 的 $\gamma$ 射线谱斜率。对于后者,我们推导出在 1,484~MeV 与 28.7~GeV 之间 $\alpha=2.89$;继而使用每个含 200 个光子的子集推导时间分辨斜率。