时间序列的极值统计：相对于初始值的最大值分布

本研究探讨了当最大值从初始值开始测量时的时间信号极值统计。对于独立同分布 (iid) 变量，我们根据变量所属母分布的性质对最大值的极限分布进行了分类。随后，我们转向具有 $1/f^\alpha$ 功率谱的相关周期高斯信号，研究相对于初始高度的最大高度 (MRH_I) 分布。我们推导了 $\alpha=0$（iid 变量）、$\alpha=2$（随机游走）、$\alpha=4$（随机加速）和 $\alpha=\infty$（单一正弦模式）时的精确 MRH_I 分布。对于其他中间值的 $\alpha$，分布由模拟确定。我们发现，对于所有 $\alpha$，MRH_I 分布与此前研究的相对于平均高度的最大高度分布显著不同。MRH_I 分布的两个主要区别特征是：小相对高度的权重更大，以及当 $\alpha>3$ 时在零高度处发散。我们还通过展示某些非周期性边界条件的精确结果，证明了边界条件会影响分布的形状。最后，我们表明，对于源于时间平移不变分布的信号，近极值态的密度与 MRH_I 分布相同。这一发现被用于开发这两种分布阈值奇点的标度理论。