一种新的相关系数、其正交分解及相关的独立性检验

对于两个实随机变量$X$和$Y$，通常的相关系数$\rho$的一个可能缺陷是零相关不蕴含独立。本文引入一个新的相关系数$\rho^*$，其取值在零与一之间，当且仅当两个变量独立时等于0，当且仅当两个变量线性相关时等于1。我们证明$\rho^*$与$\rho^2$在代数上密切相关，并且它们在$2\times 2$列联表上的分布中一致。我们导出$\rho^*$的正交分解，作为某些边缘特征函数之间平方通常相关系数的正加权之和。我们讨论了$\rho^*$及其分量相关系数的估计及其渐近分布，并发展了用于评估双变量数据集中可能关联性质的视觉工具。本文包含$\rho^*$的等级（秩）版本以及将$\rho^*$用于列联表分析的考量。作为一个特例，得到了Cramér-von Mises检验对$K$个有序样本的一个新的推广。