一种新的 $\alpha$-Farey 映射类及其对正数集的应用

我们定义了两种形式为 $F_{\alpha}$ 和 $F_{\alpha, \flat}$ 的 $\alpha$-Farey 映射，其中 $0 < \alpha < \tfrac{1}{2}$，而这两种映射此前仅由 R.~Natsui（2004）在 $\tfrac{1}{2} \le \alpha \le 1$ 的范围内定义。随后，对于每个 $0 < \alpha < \tfrac{1}{2}$，我们构造了平面上的自然扩展映射，并证明了 $F_{\alpha, \flat}$ 的自然扩展与原始 Farey 映射的自然扩展在度量上等同。作为应用，我们表明，与 $\alpha$-连分数相关联的正数集随 $\alpha$（$0 < \alpha < 1$）的变化而保持不变。这扩展了 C.~Kraaikamp 和 H.~Nakada（2000）的研究结果。