Erdős-Taylor 定理的一个多元推广

Erdős-Taylor 定理 [Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 1960] 指出，若 $\mathsf{L}_N$ 是二维简单对称随机游走在时刻 $2N$ 前于零点的局部时，则 $\tfrac{\pi}{\log N} \,\mathsf{L}_N$ 依分布收敛于参数为一的指数随机变量。这也可等价地用平面上两个独立简单随机游走的总碰撞时间表述。更精确地，若 $\mathsf{L}_N^{(1,2)}=\sum_{n=1}^N 1_{\{S_n^{(1)}= S_n^{(2)}\}}$，则 $\tfrac{\pi}{\log N}\, \mathsf{L}^{(1,2)}_N$ 依分布收敛于参数为一的指数随机变量。我们证明对任意 $h \geq 3$，平面上 $h$ 个独立简单对称随机游走之间两两碰撞局部时的对数重标度族 $\big\{ \frac{\pi}{\log N} \,\mathsf{L}_N^{(i,j)} \big\}_{1\leq i<j\leq h}$ 联合收敛于一组参数为一的独立指数随机变量，从而给出 Erdős-Taylor 定理的多元版本。我们还讨论了与随机环境中的有向聚合物之间的联系。