随机串最优比对中波动问题的蒙特卡洛方法

确定长度为 $n$ 的两个随机串的最优比对得分的正确波动阶数这一问题已悬而未决数十年。已知随机字母替换对最优得分的有偏期望效应意味着波动阶数为 $\sqrt{n}$ 的线性量级。然而，在许多经验上观察到此类有偏效应的情形中，尚无法通过解析方法予以证明。本文的主要结果表明，当最优比对得分的重缩放极限在特定方向上增加时，该有偏效应即存在。基于此结果，人们可以通过模拟最优比对得分来量化该有偏效应存在的置信水平，从而确定 $\sqrt{n}$ 阶的波动。这是重要的一步进展，因为此前仅在特定分布下已知正确的波动阶数。为了说明我们新方法的有效性，将其应用于以 DNA 字母表编写的串的最优比对。作为评分函数，我们使用了 BLASTZ 默认替换矩阵以及符合实际的空位罚分。BLASTZ 是生物信息学中最广泛使用的序列比对方法之一。针对此 DNA 场景，我们以高置信度证明了最优比对得分的波动阶数为 $\Theta(\sqrt{n})$。最优比对得分的一个重要特例是随机串的最长公共子序列 (LCS)。对于符号等概率的二元序列，LCS 的波动问题仍然开放；该情形下的对称性使得我们的方法不适用。另一方面，在现实生活的 DNA 序列中，并非所有字母都以相同频率出现。因此，对于许多现实情境，我们的方法允许以高置信度确定波动的阶数。