关于 $u_{xy}=f(x,y,u,u_x,u_y)$ 的一类混合边值问题

考虑单个双曲型偏微分方程 $u_{xy}=f(x,y,u,u_x,u_y)$，并给定局部数据：沿非特征曲线 $M$ 的 $u$ 和沿非特征曲线 $N$ 的 $u_x$。我们假设 $M$ 和 $N$ 是一对一函数的图形，仅相交于原点，且位于 $(x,y)$ 平面的第一象限内。已知若 $M$ 位于 $N$ 上方，则存在唯一局部解，可通过逐次逼近获得。我们证明在相反情形，即当 $M$ 位于 $N$ 下方时，唯一性可能在如下强意义下失效：对于相同的边界数据，存在两个在任意接近原点的点处不同的解。在后一种情形中，我们还建立了局部解的存在性（在函数 $f$ 满足 Lipschitz 条件下）。该构造通过 Picard 迭代实现，利用了在每步迭代中更新的精心附加 $u$ 数据。