基于多项式稳定性保护器建立Euler多项式极端根的渐近准确界限的方法
摘要
我们发展了工具，用于全局界定多元实零多项式的极端根。这通过一种近似其刚性凸集的松弛实现。该松弛可通过多项式的3次截断轻松构造，由此产生一个相对容易计算且大小仅取决于多项式变量数的谱棱。鉴于已知要一般性地产生谱棱表示的刚性凸集需要构建极大尺寸的矩阵，我们尝试、分析和实验了几种可能增加这些矩阵尺寸的构造方法。这几种构造主要基于两种主要方法：添加关于更高阶单项式的信息或非平凡地增加原始多项式的变量数。我们首先在一般设置下探索这两种构造方法，发现必须针对特定多项式族进行针对性化。在 particular地，我们证明了增加变量数可改善松弛在对角线上的行为。我们看到，将该松弛应用于多元Euler多项式，然后查看其嵌入对角线上的单变量多项式，可在界限上实现指数级渐近改进。我们将这些界限与文献中出现的其他界限进行比较，并细化这些先前的界限，以研究该松弛提供的界限与单变量Euler多项式实际根之间有多接近。
引用
@article{arxiv.2503.04628,
title = {A Method for Establishing Asymptotically Accurate Bounds for Extremal Roots of Eulerian Polynomials Using Polynomial Stability Preservers},
author = {Alejandro González Nevado},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.04628},
year = {2025}
}
备注
PhD thesis written by the author in the University of Konstanz. Supervised by Markus Schweighofer and financed with the support of the POEMA network. Dimensions of the pages changed for paper use optimization. Discussion about extremal interlacers in Section 7.9 expanded to cover trivial cases of the conjecture. Defended. Comments are always welcome!