计算静态球对称时空中 Hadamard 初等函数 $G^{(1)}$ 虚部的方法

当真空粒子产生发生时，Hadamard 初等函数 $G^{(1)}$ 的虚部便为非零。本文提出了一种方法，可用于计算具有任意曲率耦合和经典电磁场 $A^{\mu}$ 的静止球对称时空中带电标量场 $G^{(1)}$ 的虚部。计算在欧几里得空间中进行，Hadamard 初等函数与欧几里得格林函数之间存在关系 $(1/2)G^{(1)}=G_{E}$。该方法利用欧几里得化模式函数的 $4$ 阶 WKB 近似。可在量子场的大质量极限下对出现的模式求和与积分进行解析求解。这导致 $G^{(1)}$ 对于量子场质量 $m$ 的逆幂次的渐近展开。通过减去展开中与 $m$ 的非负幂次有关的项，可实现正规化，剩余的有限部分称为“DeWitt-Schwinger 近似”。本文给出的 $G^{(1)}$ 的 DeWitt-Schwinger 近似包含与 $m^{-1}$ 和 $m^{-2}$ 成比例的项。将证明与本文中 $G^{(1)}$ 的 DeWitt-Schwinger 点分割展开中 $m^{-2}$ 项得到的表达式相同的 $m^{-2}$ 项。本方法的新颖之处在于获得了 $G^{(1)}$ 虚部的 DeWitt-Schwinger 近似，该近似在本文中导出的 $G^{(1)}$ 的 DeWitt-Schwinger 近似中与 $m^{-1}$ 成比例。