用于生成建模的均值场博弈实验室

我们展示了均值场博弈（MFGs）作为一种数学框架在解释、增强和设计生成模型方面的多功能性。在生成流中，采用拉格朗日表述，其中每个粒子（生成的样本）旨在使其模拟路径上的损失函数最小化。然而，该损失依赖于其他粒子的路径，这导致了粒子群体之间的竞争。这种竞争的渐近行为产生了一个均值场博弈。我们建立了 MFGs 与主要类别的生成流和扩散之间的联系，包括连续时间归一化流、基于分数的生成模型（SGM）和 Wasserstein 梯度流。此外，我们通过研究各生成模型关联的 MFG 的最优性条件（一组耦合的前向-后向非线性偏微分方程）来研究其数学性质。由 MFG 最优性条件描述的数学结构揭示了生成流的归纳偏置。我们研究了归一化流的适定性与结构，揭示了 SGMs 的数学结构，并推导了 Wasserstein 梯度流的 MFG 表述。从算法角度看，最优性条件为增强生成模型训练提供了 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）正则化项。特别地，我们提出并展示了一个 HJB 正则化的 SGM，其性能优于标准 SGMs。我们将此框架作为一个 MFG 实验室呈现，作为揭示生成模型实验与新发明途径的平台。