从微观 BCS 模型对零温二维超导性的数学推导

从 H. Fröhlich 的二次量子化哈密顿量出发，该哈密顿量描述与晶格声子相互作用的 $d$ 维电子气（声子描述金属的量子振动），我们遵循 J. Bardeen、L. Cooper 和 J. Schrieffer 于 1957 年最初提出的原则，给出超导态的严格数学推导。如同 90 年代关于该主题的一系列论文（本文是其延续），将离子表示为均匀电荷背景使得模型在平衡态下可重构为 $(1+d)$ 维费米子量子场论表述。为简洁起见，本文限于 $d=2$ 维和零温度，并忽略电磁相互作用效应。在这些假设下，我们证明了在能量水平 $\Gamma_{\phi}\sim \hbar\omega_D e^{-\pi/m\lambda}$（等于质量隙，用德拜频率 $\omega_D$、电子质量 $m$ 和耦合常数 $\lambda$ 表示）处，从费米液体态转变为由电子库珀对组成的超导态。动力学 $U(1)$ 对称性破缺在低于能隙 $\Gamma_{\phi}$ 的能量下产生一个 Goldstone 玻色子，一种由有效的 $(2+1)$ 维非线性 sigma 模型描述的无质量粒子，并计算了其参数和相关性。证明依赖于通用概念和工具（多尺度团簇展开、Ward 恒等式）的混合，这些被适配于该量子多体问题及其位于费米圆上的扩展红外奇点，以及给出中间能标主导图的特定 $1/N$ 展开。梯状图被证明在红外极限下提供主导行为，与平均场理论预言一致。