离散化 IPT-DMFT 方程的数学分析

在先前的工作（E. Canc\`es, A. Kirsch 和 S. Perrin--Roussel, arXiv:2406.03384）中，我们证明了在迭代微扰理论（IPT-DMFT）近似下动力学平均场理论（DMFT）方程解的存在性。为了进行数值模拟，需要对这些方程进行离散化。本文研究 IPT-DMFT 泛函方程的一种离散化方法，该方法基于将杂化函数和局部自能限制在上半平面的有限个点 $(i\omega_n)_{n \in |[0,N_\omega]|}$ 上，其中 $\omega_n=(2n+1)\pi / \beta$ 是第 $n$ 个 Matsubara 频率，$N_\omega \in \mathbb N$。我们首先证明了在依赖于 $N_\omega$ 的某个参数范围内离散化方程解的存在性。随后证明了在更小的参数范围内解的唯一性。我们还深入研究了具有粒子-空穴对称性的二部系统。在此情形下，离散化 IPT-DMFT 方程具有纯虚数解，该解可通过求解包含 $(N_\omega+1)$ 个变量和 $(N_\omega+1)$ 个方程的实代数系统得到。我们在 $N_\omega=0$ 时给出了解的完整刻画，并在 Hubbard 二聚体的简单情形下给出了 $N_\omega=1$ 时的一些结果。最后，我们展示了 Hubbard 二聚体的一些数值模拟。