二次置换交错 Zadoff--Chu 序列的局部估计判据

Berggren 和 Popović 引入了二次置换-多项式交错 Zadoff--Chu 序列，并据此从穷举数据推测所有规范 QPP 交错 Zadoff--Chu 序列对于素数幂长度 $N=p^n$（其中 $p>3$ 且 $n>1$）的等价性。我们给出了精确的局部算术判据。对于规范 QPP $\pi_{a,b}(k)=ak^2+bk\pmod N$，若其交错序列在标准五种 CAZAC 保操作下等价于 Zadoff--Chu 序列，当且仅当对每个素数幂 $p^\alpha\Vert N$，$a$ 的估计满足上述分段条件。证明基于对提升 Zadoff--Chu 相位的第三类有限差分不变式：$\Delta^3\bigl((ak^2+bk+\varepsilon_N+2q)(ak^2+bk)\bigr) =12a(2ak+3a+b)$。作为结果， conjectured 的素数幂边界并不正确：所有非零规范 QPPs 等价于 Zadoff--Chu 序列的充要条件是 $N$ 为奇数、$9\nmid N$，且至少存在一个素数 $p\ge5$ 满足 $p^2\mid N$。特别地，$N=75=3\cdot5^2$ 是 conjectured "仅若"方向最小的非素数幂反例。第二个推论记录了对应不可约 QPPs 的相应表述。