带收敛速度的欧几里得算法与丢番图代价的局部极限定理

对于大的 $N$,我们考虑 $x=p/q$ ($1\le p\le q\le N$) 的普通连分数,或者等价地,考虑两个整数 $1\le p\le q\le N$ 的欧几里得最大公约数算法,并在 $p$ 与 $q$ 的集合上赋予均匀分布。我们研究在可能数字的集合 $\mathbb{Z}_+^*$ 上给定加法代价函数 $c$ 时,该算法执行总代价的分布,其中 $N\to\infty$ 为渐近情形。若 $c$ 为非格点且满足温和的增长条件,局部极限定理此前已由第二作者证明。通过对代价引入丢番图条件,我们得以控制局部极限定理中的收敛速度。我们使用了第一作者与 Vallée 之前的估计,并将 Dolgopyat 与 Melbourne 关于转移算子的界适配到我们的设定中。我们的丢番图条件是通用的(关于勒贝格测度)。对于足够光滑的观测函数(依赖于丢番图条件),我们达到了最优速度。