Wasserstein空间中全耗散演化的拉格朗日方法

我们引入并研究了欧氏或希尔伯特概率测度的Wasserstein空间$(\mathcal{P}_2(\mathsf{X}),W_2)$上全耗散多值概率向量场(MPVF)$\boldsymbol{\mathrm F}$的类。我们证明此类MPVF与希尔伯特空间$L^2(\Omega,\mathcal{B},\mathbb{P};\mathsf{X})$中随机变量的律不变耗散算子一一对应,并保持自然极大性性质。这使我们能将希尔伯特空间中极大耗散算子理论的许多有力工具引入Wasserstein框架,导出由极大全耗散MPVF生成的流的存在性、唯一性、稳定性和逼近结果,以及其欧拉与拉格朗日刻画之间的等价性。我们将证明满足度量耗散条件的半连续单值概率向量场实际上是全耗散的。从足够丰富的离散测度集合出发,我们还将展示如何恢复MPVF的唯一极大全耗散版本,证明其流给出了相应离散粒子系统族渐近极限的一般平均场刻画。该方法也揭示了具有离散测度核在能量中稠密的位移凸泛函梯度流的新而有意思的结构性质。