关于随机变量吸引域的假设检验

本文研究如何检测随机变量 $V$ 的抽样概率分布是否具有无穷一阶矩这一问题。当样本来源于复杂数值模拟方法时,该问题尤为重要。例如,在模拟具有复杂且奇异的 McKean-Vlasov 相互作用核的随机粒子系统时就会出现这种情况。如前所述,该检测问题是病态的。因此,我们针对给定随机变量的独立副本提出并分析了一个渐近假设检验,该随机变量假定属于某个未知的稳定律吸引域。原假设 $\mathbf{H_0}$ 为:“$X=\sqrt{V}$ 服从正态分布的吸引域”,备择假设为 $\mathbf{H_1}$:“$X$ 属于指数小于 2 的稳定律吸引域”。我们的关键观察是:当 $\mathbf{H_0}$ 被拒绝(从而 $\mathbf{H_1}$ 被接受)时,$X$ 不可能具有有限二阶矩。令人惊讶的是,我们发现从随机过程的统计量出发推导检验是有用的。更确切地说,我们的假设检验基于一个统计量,该统计量受到通过离散时间单次路径观测来判断半鞅是否具有跳跃的方法论的启发。我们通过证明布朗桥离散时间泛函的渐近性质来论证该检验的合理性。