S-类群的希尔伯特90性质及其在格罗斯-库兹明猜想中的应用

设 $L/K$ 为数域的循环扩张，$S$ 为 $K$ 的有限素点集，包含分歧素点和无穷远素点。若对任意生成元 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$，算术范映射 $\mathbf{cl}^S(L) \to \mathbf{cl}^S(K)$ 的核与 $(1 - \sigma)\mathbf{cl}^S(L)$ 一致，则称 $L/K$ 具有 $\mathbf{cl}^S$-希尔伯特 90 性质。在本文中，我们首先提供了一种验证 $\mathbf{cl}^S$-希尔伯特 90 性质的方法，该方法无需任何关于 $L$ 的类群的知识。然后我们研究了 $\mathbf{cl}^S$-希尔伯特 90 性质与伊瓦萨瓦理论中格罗斯-库兹明猜想之间的联系。在此过程中，我们推导了格罗斯-库兹明猜想的一个新判据，该判据与费马商和素理想的旋量符号相关，可通过显式计算轻松验证。我们猜想，在全实情况下，该条件对所有但有限多个素数成立。最后，我们给出了支持该猜想启发式的数值证据。