高置信度介质中多连续体同质化的层次方法

最近发展出的多连续体同质化方法因其在建模复杂多尺度系统方面的有效性而受到广泛关注。该方法基于具有不同物理属性的连续体定义多个连续体，并求解一系列受约束的单元问题，以捕获每个连续体的局部信息。然而，在每个宏观点上都在非常细的网格上求解所有这些单元问题在计算上是昂贵的，这是大多数针对非周期问题同质化方法的常见局限性。为此，我们提出了层次化的多连续体同质化框架。核心思想是定义层次化的宏观点，并在不同分辨率的网格上求解受约束问题。我们假设局部解可以表示为来自前一层级局部解的线性插值与额外校正项的组合。该组合代替原有的受约束问题，校正项使用不同大小的有限元网格解决，具体取决于宏观点的层级。通过将完全解析局部问题的计算成本归一化为 $\mathcal{O}(1)$，我们证明该方法的计算成本为 $\mathcal{O}(L \eta^{(1-L)d})$，其中 $L$ 为层次数、$\eta$ 为粗化因子、$d$ 为空间维数。这突出显示了在层次结构 $L$、粗化因子 $\eta$ 和空间维数 $d$ 之间的显著计算节省。数值实验验证了该方法在缓慢变化介质中的有效性，凸显了其在高效多尺度建模中的潜力。