基于算术 $Z$-博弈的增长模型

我们提出了一种基于数值原子规则 $Z(a,b)=ab/\gcd(a,b)^2$（其中 $a,b$ 为正整数）的演化自治理模型。从一列数（初始代 $Gin$）开始，通过对任意相邻项施加 $Z$-规则得到新序列。类似地，对新生成的代重复施加同一过程，生成整个矩阵 $T_{Gin}$。通常，作为整个过程记录者的该矩阵呈现出分形外观并具有引人入胜的性质。若 $Gin$ 为正整数序列，则在关联矩阵中显著的是称为 $Z$-孤子（Z-solitons）的特异几何图形以及西边缘上数字大小的正弦式演化。我们观察到 $T_{\mathbb{N}^*}$ 接近于由如下初始代生成的无孤子类比矩阵：该初始代中每个自然数被其最大的由不同素数乘积构成的除数所替代。我们描述了这一新矩阵的形状与性质。N. J. A. Sloane 提出了关于矩阵 $T_{\mathbb{N}^*}$ 西边缘的几个有趣问题。我们解决了其中之一，并对另一个提出了精确猜想的论证。